EXERCICE 1 :
1.a) Comme les droites (AB) et (DC) sont parallèles, on a pour un certain .
De plus, on sait que , donc .
b) On peut exprimer comme la somme de et .
Comme ABCD est un trapèze, on a . Donc :
2)a) On sait que et .
Donc :
Comme ABCD est un trapèze, on a , donc :
Finalement, on a .
Pour placer le point E, on part de A, on avance dans la direction et on multiplie sa longueur par :
b) Les milieux de [AE] et [BD] sont respectivement M et N, tels que .
Or, on sait que et . Donc :
On veut montrer que .
On a donc :
Ce qui est vrai, car .
Donc :
3)a) On cherche x tel que . Or, on sait que et .
Donc :
On veut que , donc :
Donc, pour , le point M est le symétrique de C par rapport à D.
b) On a , donc :
Le vecteur est une combinaison linéaire de et de , qui sont tous deux fixes.
Donc le point M se déplace sur une droite. Cette droite est la parallèle à (AB) passant par le point D.
EXERCICE 2 :
1) En utilisant les relations données, on a:
On peut donc construire les points E et F en partant de A, en prenant et comme vecteurs directeurs et en ajoutant les vecteurs et respectivement.
2) Calculons le vecteur :
On en déduit que est colinéaire à pour tout x de .
3) a) E = F si et seulement si , ce qui donne:
En développant cette équation, on obtient:
Cette équation est vérifiée si et seulement si les coefficients des vecteurs et sont tous deux nuls, c’est-à-dire:
et
Donc E = F si et seulement si .
b) BCFE est un parallélogramme si et seulement si .
Or,
Donc si et seulement si:
ce qui est équivalent à:
Cette équation est vérifiée si et seulement si le triangle ABC est équilatéral. Donc BCFE est un parallélogramme si et seulement si le triangle ABC est équilatéral.
EXERCICE 3 :
1) On a .
En utilisant les relations données, on a :
Donc
2) Si ABCD est un parallélogramme, alors et .
Donc, d’après la question précédente :
Donc est une combinaison linéaire de et , c’est-à-dire qu’il est colinéaire à si et seulement si et sont colinéaires.
Or, dans un parallélogramme, cela est toujours vrai. Donc si ABCD est un parallélogramme, MBCN est un parallélogramme.
EXERCICE 4 :
1) En remplaçant a par 0 dans les relations données, on a :
2) Calculons le vecteur :
Donc est colinéaire à .
On peut en déduire que les vecteurs et sont aussi colinéaires à , car on peut les écrire comme des combinaisons linéaires de et :
Donc SMTU est un parallélogramme, car les côtés opposés ont la même direction.
EXERCICE 5 :
1) On a , donc :
En utilisant les relations de Chasles, on a :
On peut donc construire G en traçant les vecteurs et à partir des points A et B, puis en faisant leur somme à partir du point C.
2) On a , donc :
Donc H est le milieu de [AB]. En utilisant 1), on a :
Donc G est bien le milieu de [HC].
3) En utilisant la question 1), on a :
Donc pour tout point M, .
4)
a) On a si et seulement si :
En utilisant la question 1), on peut exprimer et en fonction de , et , et en utilisant la question 2), on peut exprimer en fonction de et .
On obtient finalement :
Donc l’ensemble des points M tels que est la droite passant par les milieux des côtés AB, AC et BC.
b) Le vecteur est colinéaire à si et seulement si leur produit scalaire est nul :
En développant et en utilisant les relations de Chasles, on obtient :
Donc l’ensemble des points M tels que est colinéaire à est la droite passant par le point G et parallèle à la droite (AB).