Devoir en commun de maths en seconde (2de)

Un devoir en commun de mathématiques en seconde (2de).

Exercice 1  « Inéquations et tableaux de signes »  

1. Résoudre  dans  \mathbb{R}   l’inéquation  du  premier degré d’inconnue  x

\frac{3-x}{5}-\frac{2x+1}{10}\geq \frac{1}{2}x+3

On donnera l’ensemble solution sous la forme d’un intervalle.

2. On donne P(x) = 5(9 – x²)  –  (x – 5)(2x – 6)          x\in \mathbb{R}

a. Démontrez que pour tout x\in \mathbb{R},  on a  P(x) = (3 – x)(7x + 5)

b. Etudiez dans un tableau  le signe de  P(x)

c. En déduire l’ensemble solution de l’inéquation  P(x) > 0

d. Résoudre dans    l’inéquation  P(x) 15  .

3. a  On considère l’inéquation d’inconnue  x :    \frac{x}{1+x}\leq 1+\frac{1}{2x-1}            (1)

Démontrez que résoudre (1) en revient à résoudre :       \frac{-3x}{(1+x)(2x-1)}\leq 0

b. Etudiez dans  un tableau le signe de  \frac{-3x}{(1+x)(2x-1)}     et en déduire l’ensemble solution de (1)

 Exercice 2  « Géométrie plane » 

geometrie-plane

 

Exercice 3  « Vecteurs du plan »   

ABC est un triangle. Les points N , P et Q  sont tels que :

\overrightarrow{AN}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}   et   \overrightarrow{AP}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AC}  et enfin  \overrightarrow{BQ}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}

1.  Placer les points N ,P et Q sur la figure1 .

2.  Exprimer \overrightarrow{AN}  en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AC}.

3.  Déterminez  un réel k  tel que \overrightarrow{AP} =k\overrightarrow{AN}

4. Que peut on dire des points A, N et P ? Justifiez votre réponse

5. Montrer que les droites  (NQ) et (AB) sont parallèles. ( On pourra exprimer \overrightarrow{NQ}  en fonction  de  \overrightarrow{AB}  et   \overrightarrow{AC} puis établir que  \overrightarrow{NQ} =\frac{17}{12}\overrightarrow{AB} ).

 Exercice 4  « Géométrie analytique »  

Le plan est muni d’un repère orthonormé (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) . La figure sera complétée tout au long des questions  ( figure 2)

  1. Placer les points A\left ( -2;\frac{5}{2} \right ) , B\left ( 4;-\frac{1}{2} \right )  et        C\left ( \frac{7}{2} ;-\frac{3}{2} \right ).
  2. Déterminer les coordonnées du milieu  I  du segment [AB] et placer  I.
  3. Après avoir calculé  AB², AC² et BC², en déduire la nature exacte du triangle ABC.
  4. Soit le vecteur \overrightarrow{u}(-1;-2)  et D  le point  tel que \overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{u}.

a) Construire  D  et déterminer les coordonnées de ce point par le calcul.

( On pourra exprimer  \overrightarrow{OD}  en fonction de \overrightarrow{OA}  et \overrightarrow{u} )

b) Etudier la colinéarité des vecteurs \overrightarrow{BC}  et \overrightarrow{AD}; en déduire la position relative des droites (BC) et (AD) .

c) Démontrer que ABCD est un trapèze .

  1. Soit  F(-\frac{3}{2};y)  où y est un nombre réel. Déterminer y pour que le point F appartienne à la droite (CI) . Placer F dans le repère (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}) .
  2. Quelle est la nature du quadrilatère ACBF ? Justifier
  3. Le point B appartient-il au cercle de diamètre [AC] ? Justifier la réponse.

Exercice 5 :  « Fonctions numériques » 

Soit f la fonction définie sur [−4 ; 2]  par f(x) = -2x²-4x

 

1)      Factoriser au maximum f(x).

2)      Montrer que pour tout réel x de [−4 ; 2],  f(x) = -2(x+1)²+2.

3) a) Conjecturer à l’aide de la calculatrice le maximum de f sur [−4 ; 2].

(c’est-à-dire essayer de le deviner sans le démontrer en traçant la courbe Cf sur

votre calculatrice graphique)

b) Pour quelle valeur ce maximum semble-t-il atteint ?

c) Démontrer les conjectures faites en 3)a) et 3)b) par le calcul.

4) a) Compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera les valeurs exactes)

 

x−4-3,5-3-2,5-2-1,5-1-0,500,511,52
f(x)             

 

b) Tracer Cf,  la courbe représentative de la fonction f dans le repère

orthogonal donné à l’annexe 2.

5) a) Résoudre graphiquement sur [−4 ; 2], l’inéquation f(x) < 0

b) Retrouver par le calcul le résultat de la question 5)a) en vous aidant de la

question 1) et en faisant un tableau de signes.

6) a) Tracer dans le repère la droite d : y = x-3

b) Résoudre graphiquement sur [-4 ; 2], l’inéquation f(x) ≥ x-3

c) Montrer que pour tout réel x,  (x+3)(1-2x) = -2x² – 5x +3

d) En déduire par le calcul le résultat de la question 6)b)

(on pourra étudier le signe de f(x) – (x-3) en faisant un tableau de signes)

figure1

figure2

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

Vous pouvez utiliser ces balises et attributs HTML : <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>