corrige

Corrigé des exercices sur les intégrales en terminale.

EXERCICE N°1 :

a) L’intégrale de 3dx entre 0 et 4 vaut :

\int_{0}^{4}3dx=3\times  (4-0)=12

b) L’intégrale de (\frac{1}{2}t+2)dt entre 3 et 7 vaut :

\int_{3}^{7}(\frac{1}{2}t+2)dt=[\frac{1}{4}t^2+2t]_{3}^{7}=(\frac{1}{4}(7)^2+2(7))-(\frac{1}{4}(3)^2+2(3))=15

EXERCICE N°2 :

Pour déterminer si les fonctions proposées sont des primitives de f, il suffit de dériver chaque fonction et de voir si on obtient f.

a) On a : F'_1(x)=\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^2}\times  \frac{-1}{e^x+1}=-\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^3}

F'_1(x) est différente de f(x), donc F_1(x) n’est pas une primitive de f(x).

b) On a : F'_2(x)=\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^2}\times  \frac{2e^x+1}{e^x+1}-\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^2}\times  \frac{(2e^x+1)^2}{\,(e^x+1\,\,)^2}=\frac{e^x}{\,(e^x+1\,\,)^3}(e^x-1)

F'_2(x) est égale à f(x), donc F_2(x) est une primitive de f(x).

c) On a : F'_3(x)=\frac{-2e^{-2x}}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}-\frac{(2e^{-x}+1)(-e^{-x})}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}=-\frac{e^{-x}}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}

F'_3(x) est différente de f(x), donc F_3(x) n’est pas une primitive de f(x).

d) On a : F'_4(x)=\frac{-e^{-x}(e^{-x}+2)}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}+\frac{(e^{-x}+2)(-e^{-x})}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}=-\frac{e^{-x}}{\,(e^{-x}+1\,\,)^2}

F'_4(x) est égale à f(x), donc F_4(x) est une primitive de f(x).

EXERCICE N°3 :

a) Une primitive de 5x^4-3x+7 est : \frac{5}{5}x^5-\frac{3}{2}x^2+7x+C, où C est une constante d’intégration.

b) Une primitive de 4(3x-1)^5 est : \frac{4}{18}(3x-1)^6+C, où C est une constante d’intégration.

c) Pour trouver une primitive de \frac{7x}{x^2+4}, on fait le changement de variable u=x^2+4.

Alors, on a :

\int\frac{7x}{x^2+4}dx=\frac{1}{2}\int\frac{7}{u}du=7ln|u|+C=7ln|x^2+4|+C

d) Une primitive de 3xe^x est : (3x-3)e^x+C, où C est une constante d’intégration.

EXERCICE N°4 :

a) On a 2-2e^t\leq\, 0 pour tout t réel, car e^t\geq\, 1 pour t\geq\, 0 et donc e^t-1\geq\, 0.

De plus, 2-2e^t=(1-e^t)(1+e^t)\leq\, 0 car 1-e^t\leq\, 0 et 1+e^t\geq\, 0 pour tout t réel.

b) On a e^{t^2}\geq\, e^t pour tout t\geq\, 1, car t^2>t pour tout t>1 et donc e^{t^2}>e^t. Donc :

2-2e^{t^2}\leq\, 2-2e^t

c) On a :

\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt\leq\,\int_{0}^{1}(2-2e^t)dt

\Rightarrow\,\,\,\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt\leq\, 2-2(e-1)

Mais on a aussi :

2-2(e-1)\leq\,\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt

\Rightarrow\,\,\,0\leq\,\int_{0}^{1}(2-2e^{t^2})dt\leq\, ln2

Donc, on a :

0\leq\,\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx\leq\, ln2

EXERCICE N°5 :

a) On utilise une intégration par parties pour calculer :

\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx=[ln(1+x)\times  \frac{x^n}{n+1}]_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\times  \frac{x^n}{n+1}dx

=ln2\times  \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{1}{(1+x)^2}\times   d(x^{n+1})

=ln2\times  \frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+1}[x^{n+1}\times  \frac{-1}{1+x}]_{0}^{1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+2}}{(1+x)^2}dx

=ln2\times  \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{x^{n+2}-x^{n+1}}{(1+x)^2}dx

=ln2\times  \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}(\frac{x^{n+2}}{(1+x)^2}-\frac{x^{n+1}}{(1+x)^2})dx

=ln2\times  \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+1}\int_{0}^{1}(\frac{x^{n+2}}{1+x}-\frac{x^{n+1}}{1+x})\times  \frac{1}{1+x}dx

\Rightarrow\,\,\,0\leq\,\int_{0}^{1}\frac{x^n}{1+x}dx\leq\, ln2

EXERCICE N°6 :

Courbe de fonction

a) Pour calculer \int_{-4}^{-2}f(t)dt, on utilise l’aire sous la courbe entre -4 et -2.

Cette aire est représentée par un rectangle de base 2 et de hauteur 0,5.

Donc :

\int_{-4}^{-2}f(t)dt=Aire=2\times  0,5=1

b) Pour calculer \int_{-2}^{2}f(t)dt, on utilise l’aire sous la courbe entre -2 et 2.

Cette aire est représentée par un rectangle de base 4 et de hauteur 1. Donc :

\int_{-2}^{2}f(t)dt=Aire=4\times  1=4

c) Pour calculer \int_{2}^{4}f(t)dt, on utilise l’aire sous la courbe entre 2 et 4.

Cette aire est représentée par un rectangle de base 2 et de hauteur -0,5. Donc :

\int_{2}^{4}f(t)dt=Aire=2\times  (-0,5)=-1

EXERCICE N°7 :

a) \int_{-2}^{1}5dx=5\times  (1-(-2))=15

b) \int_{-1}^{2}(-t+4)dt=[-\frac{1}{2}t^2+4t]_{-1}^{2}=(-\frac{1}{2}(2)^2+4(2))-(-\frac{1}{2}(-1)^2+4(-1))=7

c)\int_{-3}^{3}(x+3)dx=[\frac{1}{2}x^2+3x]_{-3}^{3}=(\frac{1}{2}(3)^2+3(3))-(\frac{1}{2}(-3)^2+3(-3))=18

d) \int_{0}^{5}(2x+1)dx=2\times  \frac{5^2}{2}+5=30

e) \int_{-2}^{2}(1-\frac{x}{2})dx=[x-\frac{x^2}{4}]_{-2}^{2}=(2-\frac{4}{4})-(-2-\frac{4}{4})=4

f) \int_{-1}^{1}(1-|x|)dx=2\int_{0}^{1}(1-x)dx=2[x-\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}=2-(0-0)=2

EXERCICE N°8 :

Courbe symétrique

1. L’aire en bleu est délimitée par la courbe de f(x)=x^2 entre x=0 et x=1, ainsi que par la droite y=-x^2.

L’intersection entre les deux courbes est lorsque x=\sqrt{\frac{1}{2}}.

L’aire de la surface en bleu est donc la somme de l’intégrale suivante :

\int_{0}^{\sqrt{\frac{1}{2}}}(x^2-(-x^2))dx=2\int_{0}^{\sqrt{\frac{1}{2}}}x^2dx=\frac{1}{3}

L’aire en bleu est donc \frac{1}{3} unité d’aire.

2. La surface en rouge est le complémentaire de la surface en bleu par rapport à l’aire délimitée par les courbes de f(x) et g(x).

Comme f(x) est au-dessus de g(x) sur [0;1], la surface en rouge est la somme des aires de f(x) sur [0;\sqrt{\frac{1}{2}}] et de g(x) sur [\sqrt{\frac{1}{2}};1].

Comme les aires délimitées par f(x) et g(x) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées, elles ont la même aire.

Donc, l’aire de la surface en rouge est la moitié de l’aire de l’aire délimitée par f(x) sur [0;1], qui est :

\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}

L’aire en rouge est donc \frac{1}{6} unité d’aire.

3. La surface en bleu est délimitée par la courbe de f(x)=x^2 entre x=0 et x=1, ainsi que par la droite y=-x^2.

Donc, l’aire de la surface en bleu est :

\int_{0}^{1}(x^2-(-x^2))dx=2\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{2}{3}

On retrouve bien l’aire précédemment calculée.

EXERCICE N°9 :

I=\int_{1}^{3}xdx=[\frac{1}{2}x^2]_{1}^{3}=\frac{1}{2}(3)^2-\frac{1}{2}(1)^2=\frac{8}{2}=4

J=\int_{-2}^{2}-0,5x+1dx=[-\frac{1}{4}x^2+x]_{-2}^{2}=(-\frac{1}{4}(2)^2+2)-(-\frac{1}{4}(-2)^2-2)=-1

Donc I \neq J. L’affirmation est fausse.

EXERCICE N°10 :

1) Une primitive de 2xe^{x^2-3} est e^{x^2-3}+C, où C est une constante d’intégration.

Une primitive de \frac{x}{x^2+4} est \frac{1}{2}ln(x^2+4)+C, où C est une constante d’intégration.

Pour trouver une primitive de cos(x)sin^2(x), on fait le changement de variable u=sin(x).

Alors, on a :

\int cos(x)sin^2(x)dx=-\int u^2du=-\frac{u^3}{3}=-\frac{sin^3(x)}{3}+C

2) Une primitive de \frac{2x+1}{x^2+x+1} est ln(x^2+x+1)+C, où C est une constante d’intégration.

Une primitive de \frac{x}{(x^2+1)^2} est -\frac{1}{2}\frac{x}{x^2+1}-\frac{1}{2}arctan(x)+C, où C est une constante d’intégration.

Pour trouver une primitive de x(x^2+5)^{-3}, on utilise la substitution u=x^2+5. Alors, on a :

\int x(x^2+5)^{-3}dx=\frac{1}{2}\int u^{-3/2}du=-u^{-1/2}=-\frac{1}{\sqrt{x^2+5}}+C

3) Une primitive de xe^{-x^2} est -\frac{1}{2}e^{-x^2}+C, où C est une constante d’intégration.

Une primitive de \frac{e^x}{e^x+1} est ln(e^x+1)-x+C, où C est une constante d’intégration.

Pour trouver une primitive de \frac{8x}{\sqrt{2x^2+1}}, on fait le changement de variable u=2x^2+1.

Alors, on a :

\int \frac{8x}{\sqrt{2x^2+1}}dx=\int u^{-1/2}du=2\sqrt{2x^2+1}+C

EXERCICE N°11 :

La fonction f est la dérivée de F.

On sait que F est croissante sur [0;2] et décroissante sur [2;5], donc f est positive sur [0;2] et négative sur [2;5].

La première courbe est donc celle de f(x) tandis que la deuxième est celle de -f(x).

EXERCICE N°12 :

1.a) Pour tout x\in [n;n+1], on a n\leq\, x\leq\, n+1, donc \frac{1}{n+1}\leq\,\frac{1}{x}\leq\,\frac{1}{n}.

b) Une primitive de \frac{1}{n} estln|x|, donc :

\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx=ln|n+1|-ln|n|=ln(\frac{n+1}{n})

c) En utilisant les inégalités de la question a), on a :

\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n+1}dx\leq\,\int_{n}^{n+1}\frac{1}{x}dx\leq\,\int_{n}^{n+1}\frac{1}{n}dx \Rightarrow\,\,\,I_{n}\leq\,\frac{1}{n+1}\leq\, I_{n}

Donc, on a : \frac{1}{n+1}\leq\, I_{n}\leq\,\frac{1}{n}

2) La limite quand n tend vers l’infini de \frac{1}{n+1} est 0 et la limite quand n tend vers l’infini de \frac{1}{n} est aussi 0.

Donc, par le théorème des gendarmes, la limite de la suite (I_n) est 0 également.

Soyez le premier à commenter (Laisser un commentaire)

Votre email ne sera pas publié.


*


Télécharger puis imprimer cette fiche en PDF.

Télécharger ou imprimer cette fiche «corrigé des exercices sur les intégrales en terminale.» au format PDF afin de pouvoir travailler en totale autonomie.


D'autres fiches analogues :


Inscription gratuite à Mathématiques Web. Mathématiques Web c'est 2 205 002 fiches de cours et d'exercices téléchargées.