Cours maths 3ème

Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours en 3ème.

Mise à jour le 14 janvier 2018 | Cours maths troisième (3ème)  |  Signalez une ERREUR

Un cours de maths en trisième (3ème) sur l’arithmétique avec la définition et la propriété de la division euclidienne ainsi que la définition d’un nombre premier et le théorème de décomposition en facteurs premiers de n’importe quel nombre entier.

I.La division euclidienne :

1.Division euclidienne : Propriété de la division euclidienne

Exemple :

Prenons a=187 et b=13, on pose la division euclidienne pour obtenir q et r.

Donc 187=13×14+5 avec 5<13.

2.Multiples et diviseurs :

Définition du multiple et du diviseur

Exemple :

Prenons a= 135 et b = 15.

On a 135 = 15×9 + 0= 15×9.

Donc 135 est un multiple de 15 et 15 est un diviseur de 135.

Remarques :

  • Un nombre entier a un nombre fini de diviseurs, mais un nombre infini de multiples.
  • Un nombre entier supérieur à 1 admet toujours au moins deux diviseurs : 1 et lui-même.

3.Critères de divisibilité :

Critères de divisibilité

Exemple :

  • 915 n’est pas divisible par 2 car il se termine par 5.
  • 915 n’est pas divisible par 4 car 15 ne l’est pas.
  • 915 est divisible par 3 car 9+1+5=15=5×3 et 15 est divisible par 3.

II.Les nombres premiers :

1.Définition :

Définition d'un nombre premier

Exemples :

  • La liste des nombres premiers inférieurs à 100 : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37.
  • 91 n’est pas un nombre premier car 91=13×7 donc il possède 4 diviseurs.

2.Décomposition en facteurs premiers :

Propriété de décomposition en facteurs premiers

Exemples :

504=8\times \,63=8\times \,9\times \,7=2^3\times \,3^2\times \,7

Propriété de décomposition en nombres premiers

Exemple :

On veut décomposer l’entier 3 626 en produit de facteurs premiers.

3626=2\times \,1813=2\times \,7\times \,259=2\times \,7\times \,7\times \,37=2\times \,7^2\times \,37

3. Les fractions irréductibles :

Définition d'une fraction irréductible

Remarque :

Une fraction \frac{a}{b} est irréductible lorsque le plus grand commun diviseur de a et b (noté pgcd(a,b)) vaut 1.

Exemple :

\frac{168}{3626}=\frac{2^3\times \,3\times \,7}{2\times \,7^2\times \,37}=\frac{2\times \,2\times \,3}{7\times \,37}=\frac{12}{259} où \frac{12}{259} est une fraction irréductible car pgcd(12,259)=1.

Arithmétique et décomposition en facteurs premiers : cours en 3ème.
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