Cours maths 3ème

Calcul littéral et identités remarquables : cours en 3ème

Mise à jour le 15 janvier 2018 | Cours maths troisième (3ème)  |  Signalez une ERREUR

Un cours sur le calcul littéral et les trois identités remarquables avec la définition du développement d’une expression littérale et la factorisation.

I. Expression littérale et vocabulaire :

Définition :

Une expression littérale est une expression contenant des lettres.

Exemple : 2x²+5x+7

Remarque :

le calcul numérique est un cas particuliers du calcul littéral. Par conséquent, le calcul littéral est un outil très puissant nous permettant de traiter des généralisations de situations.

Définition :

Développer une expression littérale, c’est l’écrire comme une somme de termes.

Propriété de la simple distributivité :

Soient k,a et b trois nombres relatifs.

k(a+b)=ka+kb\\k(a-b)=ka-kb

Propriété de la double distributivité :

Soient a,b,c et d quatre nombres relatifs.

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd

Exemples :

Nous avons vu dans les niveaux précédents, deux propriétés qui permettent de développer une expression littérale : la simple et la double distributivité.

A=(x-3)(x+7)=x^2+7x-3x-21

B=-3(x-2)+7(x-4)=-3x+6+7x-28

Définition :

Réduire une expression littérale, c’est regrouper tous les termes de même nature.

Exemples :

A=(x-3)(x+7)=x^2+7x-3x-21=x^2+4x-21

B=-3(x-2)+7(x-4)=-3x+6+7x-28=4x-22

Définition de la factorisation :

Factoriser une expression littérale, c’est l’écrire comme produit de facteurs.

Remarque :

La factorisation est le « processus » inverse du développement.

Exemples :

A=7x-21=7x-7\times \,3=7(x-3)

B=(x+2)(2x-3)+(x+2)(2x-4)=(x+2)[(2x-3)+(2x-4)]=(x+2)(4x-7)

II. Les identités remarquables

1.Carré d’une somme

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Preuve :

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+a^2=a^2+2ab+b^2

2.Carré d’une différence

Propriété :

soient a et b deux nombres relatifs.

(a-b)^2=a^2-2ab+b^2

Preuve :

(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+a^2=a^2-2ab+b^2

3.Produit d’une somme et d’une différence de deux nombres

Propriété :

Soient a et b deux nombres relatifs.

(a-b)(a+b)=a^2+ab-ab-b^2=a^2-b^2

Exemples :

A=(x+1)^2=x^2+2\times \,x\times \,1=x^2+2x+1\\B=(x-3)^2=x^2-2\times \,x\times \,3+3^2=x^2-6x+9\\C=(x-5)(x+5)=x^2-5^2=x^2-25\\D=99\times \,101=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999\\E=(2x-7)^2=(2x)^2-2\times \,2x\times \,7+7^2=4x^2-28x+49

Calcul littéral et identités remarquables : cours en 3ème
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