Cours maths 4ème

Nombres relatifs et calculs : cours en 4ème

Mise à jour le 11 avril 2019 | cours maths quatrième (4ème)  |  Signalez une ERREUR

Ce cours de maths sur les nombres relatifs en classe de quatrième (4ème) fait

intervenir les notions suivantes :

– définition d’un nombre relatif;

– addition de nombres relatifs;

– soustraction de nombres relatifs;

– règle des signes;

– multiplication de nombres relatifs;

– quotient de deux nombres relatifs.

– généralisation de la règle des signes.

I.Addition et soustraction

1.Addition de deux nombres relatifs

Propriété :
  • La somme de deux nombres relatifs ayant le même signe est un nombre relatif dont le signe reste inchangé et dont la partie numérique est la somme des parties numériques de ces deux nombres;
  • La somme de deux nombres relatifs de signes contraires a pour signe celui du nombre ayant la plus grande partie numérique et a pour partie numérique la différence entre les deux parties numériques.
 Exemples :
A=\,(-2)\,+\,(-3)\\A\,=\,-\,(2+3)\\A\,=\,-5
B\,=\,(-5)\,+\,(+7)\\B\,=\,+\,(7-5)\\B\,=\,+\,2

2.Soustraction de deux nombres relatifs

Définition :

L’opposé d’un nombre relatif est le nombre ayant la même partie numérique et un signe différent.

 Exemple :
L’opposé de – 7,2 est + 7,2.
Propriété :

Soustraire un nombre relatif, c’est lui ajouter son opposé.

Exemples :
A=\,(+11)-(-13)\\A\,=\,(+\,11)\,+\,(+\,13)\\A\,=\,+\,24
B\,=\,(-\,27)\,-\,(+\,15)\\B\,=\,(-\,27)\,+\,(\,-15)\\B\,=\,-\,42

II.Multiplication de deux nombres relatifs

1.Produit de deux nombres relatifs

Propriété : (règle des signes)

Le produit de deux nombres relatifs est un nombre relatif ayant comme partie numérique le produit dees deux parties et numérique, et un signe :

  • positif si les deux nombres relatifs ont le même signe;
  • négatif si les deux nombres relatifs ont des signes différents.

Exemples :

A\,=\,(\,-\,4\,)\,\times \,(-\,5\,)\,=\,+\,20\\B\,=\,(\,+\,7\,)\,\times \,(\,-\,6)\,=\,-\,42\\C\,=\,(\,-3\,)\,\times \,(\,+\,9\,)\,=\,-\,27\\D\,=\,(\,+\,5)\,\times \,(\,+\,6)\,=\,+\,30
Propriété :

Multiplier un nombre relatif par – 1 revient à prendre son opposé.

Exemples :
A\,=\,(\,-\,29\,)\,\times \,(-\,1\,)\,=\,+\,29\\B\,=\,(\,+\,17\,)\,\times \,(\,-\,1)\,=\,-\,17
Remarque : cela signifie que pour tout nombre a relatif, a x ( – 1 ) = – a.

2.Multiplication de plusieurs nombres relatifs

Propriété : (généralité de la règle des signes)

Le produit de plusieurs nombres relatifs est :

  • positif si il y a un nombre pair de facteurs négatifs;
  • négatif si il y a un nombre impair de facteurs.

Remarque :

Cette propriété est la généralisation de la règle des signes.
Exemples :
A=\,(\,-5\,)\,\times \,(\,-9)\,\times \,(\,+\,2)\,\times \,(-69)\,\times \,(+\,37)
Il y a trois signes – et 3 est un nombre impair donc la produit A est de signe négatif.
B=\underbrace{(-1)\times \,(-1)\times \,(-1)\times \,.....\times \,(-1)}_{158fois}
Il y a 158 signes – et 158 est un nombre pair donc B est de signe positif.

3. Nombre relatif inverse

Propriété :

Deux nombres relatifs sont des nombres relatifs inverses si leur produit est égal à 1.

Soit a et b deux nombres relatifs.

a et b sont dits « inverses » si et seulement si a\,\times \,b\,=\,-1.

Exemples :
  • L’inverse de 5 est \frac{1}{5}  car 5\times \,\frac{1}{5}=1;
  • L’inverse de \frac{7}{3} est \frac{3}{7}  car \frac{7}{3}\times \,\frac{3}{7}=\frac{21}{21}=1.

IV.Division de deux nombres relatifs

Propriété :

Le quotient de deux nombre relatifs, si il existe, est un nombre relatif ayant pour partie numérique le quotient des deux parties numériques et pour signe :

  • positif si les deux nombres relatifs sont de même signe;
  • négatif si les deux nombres relatifs sont de signes différents.

Exemple :

A=\frac{+65}{-5}=-13

B\,=\,(-\,22\,)\,:\,(\,-2\,)\,=\,+\,11.

V. Expressions numériques et enchaînements d’opérations

Méthode :

On effectue en premier les calculs dans les parenthèses les plus intérieures.

Puis, on calcule les puissances éventuelles.

On effectue ensuite les multiplications et les divisions avant les additions et les soustractions.

Si il y a plusieurs multiplications et divisions qui se suivent, on effectue les calculs dans le sens de la lecture.

Si il y a plusieurs additions ou soustractions successives, on effectue les calculs dans le sens de la lecture également.

Applications :

Déterminer la valeur des expressions suivantes :

A\,=\,(+27)\,-\,(+53)\,+\,(-2,9)\,-\,(+13,7)\\B\,=\,(-25)\,-\,(-47)\,-\,(-17,7)\,-\,(+3,4)\\C\,=\,(-13)\,-\,(+55)\,+\,17\,-\,32\,+\,56\,-\,32\,+\,12,87\\D\,=\,(-26\,)+\,(+\,75)\,-\,(+\,6)\,+\,(-\,27)\,-\,(-\,48)

Nombres relatifs et calculs : cours en 4ème
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