Cours maths 5ème

Solides et sections dans l’espace et calculs de volumes : cours en 5ème.

Mise à jour le 20 janvier 2018 | Cours maths cinquième (5ème)  |  Signalez une ERREUR

Cours sur les sections de solides dans l’espace et le calcul du volume du prisme droit, du cylindre de révolution et l’étude des sections de ces différents solides de l’espace en classe de cinquième (5ème).

I.Le prisme droit

1.Vocabulaire

Définition d'un prisme droit

prisme droit

  • La base  du premier prisme est un triangle
  • Il a cinq faces dont trois faces latérales, 9 arêtes et six sommets.
  • La base du second prisme  est un pentagone.
  • Il a 7 faces dont 5 faces latérales, 15 arêtes et dix sommets.

Remarque :

  • Toutes les faces latérales ont une dimension commune : la hauteur du prisme.
  • Le nombre de faces latérales est égal au nombre de côtés de la base.

2.Patron d’un prisme droit

Exemple :

Voici le patron d’un prisme droit. Sa base est un triangle dont les côtés ont pour longueur 5 cm, 4 cm et 3 cm et dont la hauteur est égale à 2 cm.

patron du prisme droit

II.Le cylindre de révolution

1.Vocabulaire

Définition du cylindre de révolution

  • Les deux bases sont des disques de même rayon.
  • La droite qui joint les centres des deux bases est appelée axe du cylindre.
  • La hauteur du cylindre est la longueur du segment qui joint les centres des deux disques de base.

cylindre de révolution

2.Patron d’un cylindre de révolution

Exemple :

Voici le patron d’un cylindre de révolution de hauteur 3 cm ayant pour base un disque de rayon 1 cm.

La surface latérale de ce cylindre est un rectangle :

  • qui a pour largeur la hauteur du prisme soit 3 cm.
  • qui a pour longueur le périmètre du disque de base soit P=2\times \pi\times \,r=2\pi\times \,1\approx\,6,28\,cm.

Patron du cylindre de révolution

III.Les sections de solides

Définition d'une section

Section d'un solide par un plan

Propriété de la section

Exemple :

On coupe un prisme à base triangulaire par un plan parallèle à sa base.

La section est un triangle identique au triangle de base.

Remarque :

Les pavés sont des prismes particuliers, pour lesquels la section d’un plan parallèle à la base est un rectangle identique à cette base.

Prisme à base triangulaire

Propriété de la section d'un cylindre

Exemple :

On coupe un cylindre de révolution de hauteur 4 cm dont le rayon de la base est 1 cm, par un plan perpendiculaire à son axe.

La section est un disque de rayon 1 cm.

section d'un cylindre

Propriété de la section d'un cylindre de révolution

Exemple :

On coupe un cylindre de révolution de hauteur 5 cm, dont le rayon de la base est 2 cm, par un plan contenant son axe.

La section est un rectangle de longueur la hauteur du cylindre : 5 cm et de largeur le diamètre de la base : 4 cm.

cylindre et section

IV: Calcul du volume d’un solide

volume

Exemple :

Un grenier a la forme d’un prisme droit à base triangulaire. On veut calculer son volume.

On calcule l’aire d’une base qui est un triangle rectangle :

A_{base}=\frac{4\times \,3}{2}=6\,m^2

On multiplie l’aire d’une base par la hauteur :

V_{prisme-droit}=A_{base}\times \,h=6\times \,5=30\,m^2

Le volume de ce grenie est de 30 m².

volume-calcul-prisme

Une canette a la forme d’un cylindre de révolution.

On veut calculer sa contenance en centilitres.

On calcule l’aire d’une base qui est un disque de rayon 3 cm.

A_{disque}=\pi\times \,r^2=\pi\times \,3^2=9\pi\,cm^2

On multiplie l’aire d’une base par sa hauteur qui est de 11 cm.

V_{cylindre}=A_{base}\times \,h=9\pi\times \,11=99\pi\approx\,311\,cm^3.

Le volume de cette canette est d’environ 311 cm^3 soit 311 mL soit 31,1 cL.

Calcul du volume d'un cylindre

Solides et sections dans l’espace et calculs de volumes : cours en 5ème.
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