Théorème de Pythagore avec partie directe et réciproque : cours en 4ème.

Un cours de mathématiques en classe de quatrième sur le théorème de Pythagore qui fait intervenir les notions suivantes :

– définition de l’hypoténuse;

– définition de la racine carrée d’un nombre;

– partie directe du théorème de Pythagore;

– partie réciproque du théorème de Pythagore;

– signification géométrique du théorème de Pythagore.

sommaire

1 I.Vocabulaire du triangle rectangle
2 II.Partie directe du théorème de Pythagore
3 III.Partie réciproque du théorème de Pythagore
- 3.1 1.Réciproque du théorème de Pythagore
- 3.2 2.Démontrer qu’un triangle est rectangle
4 IV.Signification géométrique du théorème de Pythagore

I.Vocabulaire du triangle rectangle

Définition :

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit;
Le coté le plus long d’un triangle rectangle, qui est le côté opposé à l’angle droit, s’appelle l’hypoténuse.

Exemple :

DEF est un triangle rectangle en F;
[ED] est l’hypoténuse : c’est le plus long côté du triangle rectangle;
Les deux côtés adjacents à l’angle droit sont [FD] et [FE], ils sont perpendiculaires.

II.Partie directe du théorème de Pythagore

1.Théorème de Pythagore

Théorème :

Si un triangle est rectangle alors le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des côtés adjacents à l’angle droit.

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons : $BC^2=AC^2+AB^2$ .

2.Calcul de la longueur de l’hypoténuse

Exemple :

Soit KLM un triangle rectangle en L tel que KL = 24 cm, LM = 10 cm.

Calculer KM.

Le triangle KLM est rectangle en L donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

$KM^2=KL^2+LM^2\\KM^2=24^2+10^2\\KM^2=576+100\\KM^2=676\\KM=\sqrt{676}\\KM=24\,cm$

3.Calcul de la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit

Exemple :

Soit NPR un triangle rectangle rectangle en N tel que PR = 7 cm et Nr = 6 cm.Calculer NP (arrondir le résultat au dixième).

Le triangle PNR est rectangle donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

$PR^2=PN^2+NR^2\\7^2=PN^2+6^2\\49=PN^2+36\\PN^2=49-36\\PN^2=13\\PN=\sqrt{13}\\PN\approx\,3,6\,cm$

4.Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

Exemple :

Soit STU un triangle rectangle en U tel que ST = 9,5 cm; Su = 2,3 cm et UT = 9,2 cm.

Le plus grand côté est [ST].

Je calcule séparément :

$ST^2=9,5^2=90,25\,cm^2$

$SU^2+UT^2=2,3^2+9,2^2=5,29+84,64=89,93\,cm^2$

$ST^2\neq\,\,SU^2+UT^2$ donc le triangle SUT n’est pas rectangle.

III.Partie réciproque du théorème de Pythagore

1.Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème :

Si, dans un triangle, le carré du côté le plus long est égal à la somme des carrés des deux autres côtés alors ce triangle est rectangle.

Exemple :

ABC est un triangle tel que $BC^2\,=\,AB^2\,+\,AC^2$ . Donc, d’après la partie réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.

2.Démontrer qu’un triangle est rectangle

Exemple :

Soit DEF un triangle tel que FD = 4 cm; FE = 5 cm et DE = 3 cm.

Le côté le plus long est [FE].

Je calcule séparément :

$FE^2=5^2=25\,cm^2\\\,FD^2+DE^2=4^2+3^2=16+9=25\,cm^2$

$FE^2=FD^2+DE^2$ donc le triangle FED est rectangle en D.

IV.Signification géométrique du théorème de Pythagore

Propriété :

Si DEF est un triangle rectangle en F alors DE²=EF²+DF².

${\color{Red}\,Aire_{carre-rouge}}={\color{Blue}\,Aire_{carre-bleu}}+{\color{Yellow}\,Aire_{carre-jaune}}$

Application :

Une chèvre C est attachée à un piquet P planté au coin d’un pré carré de 15 m de côté.

Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré?

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