Un cours de mathématiques en classe de quatrième sur le théorème de Pythagore qui fait intervenir les notions suivantes :
– définition de l’hypoténuse;
– définition de la racine carrée d’un nombre;
– partie directe du théorème de Pythagore;
– partie réciproque du théorème de Pythagore;
– signification géométrique du théorème de Pythagore.
I.Vocabulaire du triangle rectangle
Exemple :
- DEF est un triangle rectangle en F;
- [ED] est l’hypoténuse : c’est le plus long côté du triangle rectangle;
- Les deux côtés adjacents à l’angle droit sont [FD] et [FE], ils sont perpendiculaires.
II.Partie directe du théorème de Pythagore
1.Théorème de Pythagore
Exemple :
ABC est un triangle rectangle en A donc d’après la prtie directe du théorème de Pythagore,
nous avons : .
2.Calcul de la longueur de l’hypoténuse
Exemple :
Soit KLM un triangle rectangle en L tel que KL = 24 cm, LM = 10 cm.
Calculer KM.
Le triangle KLM est rectangle en L donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :
3.Calcul de la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit
Exemple :
Soit NPR un triangle rectangle rectangle en N tel que PR = 7 cm et Nr = 6 cm.Calculer NP (arrondir le résultat au dixième).
Le triangle PNR est rectangle donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,
nous avons l’égalité suivante :
3.Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle
Exemple :
Soit STU un triangle rectangle en U tel que ST = 9,5 cm; Su = 2,3 cm et UT = 9,2 cm.
Le plus grand côté est [ST].
Je calcule séparément :
donc le triangle SUT n’est pas rectangle.
III.Partie réciproque du théorème de Pythagore
1.Réciproque du théorème de Pythagore
Exemple :
ABC est un triangle tel que BC² = AB² + AC². Donc, d’après la partie réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.
2.Démontrer qu’un triangle est rectangle
Exemple :
Soit DEF un triangle tel que FD = 4 cm; FE = 5 cm et DE = 3 cm.
Le côté le plus long est [FE].
Je calcule séparément :
donc le triangle FED est rectangle en D.
IV.Signification géométrique du théorème de Pythagore
Si DEF est un triangle rectangle en F alors DE²=EF²+DF².
Application :
Une chèvre C est attachée à un piquet P planté au coin d’un pré carré de 15 m de côté.
Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré?