Cours maths 4ème

Théorème de Pythagore : cours en 4ème

Mise à jour le 12 février 2018 |  Signalez une ERREUR

Un cours de mathématiques en classe de quatrième sur le théorème de Pythagore qui fait intervenir les notions suivantes :

– définition de l’hypoténuse;

– définition de la racine carrée d’un nombre;

– partie directe du théorème de Pythagore;

– partie réciproque du théorème de Pythagore;

– signification géométrique du théorème de Pythagore.

I.Vocabulaire du triangle rectangle

Définition de l'hypoténuse

Exemple :

  • DEF est un triangle rectangle en F;
  • [ED] est l’hypoténuse : c’est le plus long côté du triangle rectangle;
  • Les deux côtés adjacents à l’angle droit sont [FD] et [FE], ils sont perpendiculaires.

Triangle rectangle EFD

II.Partie directe du théorème de Pythagore

1.Théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore direct

Exemple :

ABC est un triangle rectangle en A donc d’après la prtie directe du théorème de Pythagore,

nous avons :  $$\,BC^2=AC^2+AB^2$$.

Triangle rectangle ABC

2.Calcul de la longueur de l’hypoténuse

Exemple :

Soit KLM un triangle rectangle en L tel que KL = 24 cm, LM = 10 cm.

Calculer KM.

Le triangle KLM est rectangle en L donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore, nous avons l’égalité suivante :

$$\,KM^2=KL^2+LM^2$$
$$KM^2=24^2+10^2$$
$$KM^2=576+100$$
$$KM^2=676$$
$$KM=\sqrt{676}$$
$$KM=24\,cm$$

Triangle rectangle KLM

3.Calcul de la longueur d’un côté adjacent à l’angle droit

Exemple :

Soit NPR un triangle rectangle rectangle en N tel que PR = 7 cm et Nr = 6 cm.Calculer NP (arrondir le résultat au dixième).

Le triangle PNR est rectangle donc d’après la partie directe du théorème de Pythagore,

nous avons l’égalité suivante :

$$\,PR^2=PN^2+NR^2$$
$$7^2=PN^2+6^2$$
$$49=PN^2+36$$
$$PN^2=49-36$$
$$PN^2=13$$
$$PN=\sqrt{13}$$
$$PN\approx\,3,6\,cm$$

Triangle rectangle PNR

3.Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle

Exemple :

Soit STU un triangle rectangle en U tel que ST = 9,5 cm; Su = 2,3 cm et UT = 9,2 cm.

Le plus grand côté est [ST].

Je calcule séparément :

$$\,ST^2=9,5^2=90,25\,cm^2\,;\,\,SU^2+UT^2=2,3^2+9,2^2=5,29+84,64=89,93\,cm^2$$

$$\,ST^2\neq\,\,SU^2+UT^2$$ donc le triangle SUT n’est pas rectangle.

Traingle SUT

III.Partie réciproque du théorème de Pythagore

1.Réciproque du théorème de Pythagore

Théorème de Pythagore réciproque

Exemple :

ABC est un triangle tel que BC² = AB² + AC². Donc, d’après la partie réciproque du théorème de Pythagore, on en déduit que le triangle ABC est rectangle en A.

Triangle ABC

2.Démontrer qu’un triangle est rectangle

Exemple :

Soit DEF un triangle tel que FD = 4 cm; FE = 5 cm et DE = 3 cm.

Le côté le plus long est [FE].

Je calcule séparément :

$$\,FE^2=5^2=25\,cm^2\,;\,\,FD^2+DE^2=4^2+3^2=16+9=25\,cm^2$$

$$\,FE^2=FD^2+DE^2$$ donc le triangle FED est rectangle en D.

Triangle FDE

IV.Signification géométrique du théorème de Pythagore

Propriété :

Si DEF est un triangle rectangle en F alors DE²=EF²+DF².

$$\,{\color{Red}\,Aire_{carre-rouge}}={\color{Blue}\,Aire_{carre-bleu}}+{\color{Yellow}\,Aire_{carre-jaune}}$$

signification géométrique du théorème de Pythagore

Application :

Une chèvre C est attachée à un piquet P  planté au coin d’un pré carré de 15 m de côté.

Quelle doit être, approximativement, la longueur de la corde pour que la chèvre puisse brouter tout le pré?

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