Cours maths 3ème

Théorème de Thalès : cours en 3ème

Mise à jour le 3 avril 2019 | Cours maths troisième (3ème)  |  Signalez une ERREUR

Un cours de maths en troisième (3ème) sur la partie directe et réciproque du fameux théorème de Thalès.

I.Le théorème direct :

1.Le théorème de Thalès :

Théorème de Thalès partie directe

Trois configurations illustrent le théorème de Thalès dites du « triangle », du « sablier », du « huit ».

Trois configurations du théorème de Thalès

Remarque :

Les longueurs du triangle AMN sont proportionnelles aux longueurs du triangle ABC.

2.Calculs de longueurs :

Exemple  :

La figure ci-contre est composée de quatre droites.

Les droites bleues sont parallèles.

DG=25 mm, GH=45 mm, CG = 20 mm, HT = 27 mm.

Les droites (DH) et (CT) sont sécantes en G.

Les droites (CD) et (HT) sont parallèles.

D’après la partie directe du théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :

\frac{GC}{GT}=\frac{GD}{GH}=\frac{CD}{HT} soit \frac{20}{GT}=\frac{25}{45}=\frac{CD}{27}.

Calcul de GT :

GT=\frac{20\times \,45}{25}=36\,mm

Calcul de CD :

CD=\frac{25\times \,27}{45}=15\,mm

3.Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles :

Démontrer que deux droites ne sont pas parallèles

Exemple :

Configuration de ThalèsCi-contre, les droites (ES) et (MR) sont sécantes en T.

TR= 11 cm; TS = 8 cm; TM = 15 cm et TE= 10 cm.

D’une part, \frac{TR}{TM}=\frac{11}{15}=\frac{22}{30};\frac{TS}{TE}=\frac{8}{10}=\frac{24}{30}.

On constate que \frac{TR}{TM}\neq\,\,\frac{TS}{TE}.

Or, si les droites (RS) et (ME) étaient parallèles, d’après le théorème de Thalès, il y aurait égalité.

Comme ce n’est pas le cas, les droites (RS) et (ME) ne sont pas parallèles.

II. Le théorème réciproque :

  1. Réciproque du théorème de Thalès :

Réciproque du théorème de Thalès

Remarque :

Attention, il ne suffit pas de vérifier l’égalité des rapports : il faut aussi s’assurer que les points sont bien placés dans le bon ordre.

2.Démontrer que deux droites sont parallèles :

Exemple :

Ci-contre, les droites (HA) et (TL) sont sécantes en M.

D’une part, \frac{MH}{MA}=\frac{4}{3}, d’autre part \frac{MT}{ML}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}.

On constate que \frac{MH}{MA}=\frac{MT}{ML}.

De plus, les points A,M,H d’une part et les points M,L,T d’autre part sont alignés dans le même ordre.

Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AL) et (HT) sont parallèles.

Théorème de Thalès : cours en 3ème
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