Cours maths 2de

Vecteurs et repérage dans le plan et translation : cours en 2de.

Mise à jour le 4 avril 2018 | Cours maths seconde  |  Signalez une ERREUR

Cours sur les vecteurs et la translation, nous reverrons le repérage dans le plan et les coordonnées dans un repère orthonormé ainsi que les coordonnées d’un vecteur.

A la fin de cette leçon, l’élèves devra avoir qcquis les savoirs-faire suivants :

  • Savoir calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé;
  • Savoir déterminer les coordonnées du milieu d’un segment;
  • Savoir déterminer si deux vecteurs sont égaux avec ou sans coordonnées;
  • Savoir déterminer, demander, affecter une valeur et afficher une variable dans un algorithme.
  • Milieu d’un segment;
  • Distance entre deux poiints ou norme d’un vecteur du plan;
  • Egalité de vecteurs (coordonnées, parallélogramme, vecteurs et milieu).

I.Notion de vecteur et translation

1.Translation de vecteur \overrightarrow{AB}

Défintion :

Soient A et B deux points du plan.

La translation qui transforme A en B associe à tout point du plan C le point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.

On l’appelle la translation de vecteur \overrightarrow{AB}  , souvent notée  t_{\overrightarrow{AB}}.

Remarque :

Le quadrilatère ABDC est alors un parallélogramme, éventuellement aplati.

Construire l’image du point C et celle du point N par la translation de vecteur \overrightarrow{AB}.

Image d'un point par translation

2. Vecteurs égaux

Définition :

Deux vecteurs \overrightarrow{AB}   et   \overrightarrow{CD}    sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme également C en D.

On note    \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.

vecteurs égaux

Propriété :

Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

3.Représentant d’un vecteur

Définition :

La translation de vecteur \overrightarrow{AB} transforme aussi C en D, E en F.

On a \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF} .

Ils sont les représentants d’un même vecteur, que l’on peut noter \overrightarrow{u} par exemple.

4.Vecteurs particuliers

Définitions :

Le vecteur nul, associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C….

Nous avons \overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}

Le vecteur opposé au vecteur  \overrightarrow{AB}  est le vecteur associé à la translation qui

transforme B en A : c’est le vecteur \overrightarrow{BA}.

Nous avons \overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}.

Définition du milieu d’un segment :

Le point I est le milieu du segment [AB], si et seulement si, \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}.

II.Coordonnées dans un repère orthonormé du plan

Dans un repère orthonormé du plan (O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}), on considère un vecteur \overrightarrow{u} et M l’image du point O par la translation de vecteur \overrightarrow{u}.

1.Définition et propriétés

Définition :

Les coordonnées du vecteur \overrightarrow{u} sont les coordonnées du point M tel que :

\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}.

On note \overrightarrow{u}\binom{x}{y} ou \overrightarrow{u}\left ( x;y \right ).

Remarque :

Le vecteur nul a pour coordonnées \overrightarrow{0}\binom{0}{0}.

Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans le même repère.

2.Coordonnées d’un vecteur dans le plan

Définition :

Dans un repère orthornormé du plan, Soient A et B les points de coordonnées  A\binom{x_A}{y_A} et B\binom{x_B}{y_B}.

Les coordonnées du vecteurs  coordonnées du \overrightarrow{AB} sont \overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}.

3.Norme d’un vecteur.

Définition :

La norme d’un vecteur \overrightarrow{u} est la longueur du vecteur  \overrightarrow{u} que l’on note \left \| \overrightarrow{u }\right \|.

Dans un repère orthonormé du plan  :

Si \overrightarrow{u}\binom{x}{y} alors  \left \| \overrightarrow{u }\right \|=\sqrt{x^2+y^2}.

Remarque :

Cette égalité provient du théorème de Pythagore.

4. Distance entre deux points ou longueur d’un segment

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan.

Si A\binom{x_A}{y_A} et B\binom{x_B}{y_B} alors  \left \| \overrightarrow{AB }\right \|=\sqrt{\left (x_B-x_A )^2+(y_B-y_A)^2}.

5.Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété :

Le point I est le milieu du segment [AB] a pour coordonnées :

I\binom{\frac{x_A+x_B}{2}}{\frac{y_A+y_B}{2}}

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