Cours maths 2de

Vecteurs et repérage dans le plan et translation : cours en 2de.

Mise à jour le 12 février 2018 |  Signalez une ERREUR

Cours sur les vecteurs et la translation, nous reverrons le repérage dans le plan et les coordonnées dans un repère orthonormé ainsi que les coordonnées d’un vecteur.

A la fin de cette leçon, l’élèves devra avoir qcquis les savoirs-faire suivants :

  • Savoir calculer la longueur d’un segment dans un repère orthonormé;
  • Savoir déterminer les coordonnées du milieu d’un segment;
  • Savoir déterminer si deux vecteurs sont égaux avec ou sans coordonnées;
  • Savoir déterminer, demander, affecter une valeur et afficher une variable dans un algorithme.
  • Milieu d’un segment;
  • Distance entre deux poiints ou norme d’un vecteur du plan;
  • Egalité de vecteurs (coordonnées, parallélogramme, vecteurs et milieu).

I.Notion de vecteur et translation

1.Translation de vecteur $$\,\overrightarrow{AB}$$

Défintion :

Soient A et B deux points du plan.

La translation qui transforme A en B associe à tout point du plan C le point D tel que les segments [AD] et [BC] aient le même milieu.

On l’appelle la translation de vecteur $$\,\overrightarrow{AB}$$  , souvent notée  $$\,t_{\overrightarrow{AB}}$$.

Remarque :

Le quadrilatère ABDC est alors un parallélogramme, éventuellement aplati.

Construire l’image du point C et celle du point N par la translation de vecteur $$\,\overrightarrow{AB}$$.

Image d'un point par translation

2. Vecteurs égaux

Définition :

Deux vecteurs $$\,\overrightarrow{AB}$$   et   $$\,\overrightarrow{CD}$$    sont égaux si la translation qui transforme A en B transforme également C en D.

On note    $$\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$$.

vecteurs égaux

Propriété :

Deux vecteurs et sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

3.Représentant d’un vecteur

Définition :

La translation de vecteur $$\,\overrightarrow{AB}$$ transforme aussi C en D, E en F.

On a $$\,\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF}$$ .

Ils sont les représentants d’un même vecteur, que l’on peut noter $$\,\overrightarrow{u}$$ par exemple.

4.Vecteurs particuliers

Définitions :

Le vecteur nul, associé à la translation qui transforme A en A, B en B, C en C….

Nous avons $$\,\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{BB}=\overrightarrow{CC}=\overrightarrow{0}$$

Le vecteur opposé au vecteur  $$\,\overrightarrow{AB}$$  est le vecteur associé à la translation qui

transforme B en A : c’est le vecteur $$\,\overrightarrow{BA}$$.

Nous avons $$\,\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$$.

Définition du milieu d’un segment :

Le point I est le milieu du segment [AB], si et seulement si, $$\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$$.

II.Coordonnées dans un repère orthonormé du plan

Dans un repère orthonormé du plan $$\,(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$$, on considère un vecteur $$\,\overrightarrow{u}$$ et M l’image du point O par la translation de vecteur $$\,\overrightarrow{u}$$.

1.Définition et propriétés

Définition :

Les coordonnées du vecteur $$\,\overrightarrow{u}$$ sont les coordonnées du point M tel que :

$$\,\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{u}$$.

On note $$\,\overrightarrow{u}\binom{x}{y}$$ ou $$\,\overrightarrow{u}\left\,(\,x;y\,\right\,)$$.

Remarque :

Le vecteur nul a pour coordonnées $$\,\overrightarrow{0}\binom{0}{0}$$.

Propriété :

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées dans le même repère.

2.Coordonnées d’un vecteur dans le plan

Définition :

Dans un repère orthornormé du plan, Soient A et B les points de coordonnées  $$\,A\binom{x_A}{y_A}$$ et $$\,B\binom{x_B}{y_B}$$.

Les coordonnées du vecteurs  coordonnées du $$\,\overrightarrow{AB}$$ sont $$\,\overrightarrow{AB}\binom{x_B-x_A}{y_B-y_A}$$.

3.Norme d’un vecteur.

Définition :

La norme d’un vecteur $$\,\overrightarrow{u}$$ est la longueur du vecteur  $$\,\overrightarrow{u}$$ que l’on note $$\,\left\,\|\,\overrightarrow{u\,}\right\,\|$$.

Dans un repère orthonormé du plan  :

Si $$\,\overrightarrow{u}\binom{x}{y}$$ alors  $$\,\left\,\|\,\overrightarrow{u\,}\right\,\|=\sqrt{x^2+y^2}$$.

Remarque :

Cette égalité provient du théorème de Pythagore.

4. Distance entre deux points ou longueur d’un segment

Propriété :

Dans un repère orthonormé du plan.

Si $$\,A\binom{x_A}{y_A}$$ et $$\,B\binom{x_B}{y_B}$$ alors  $$\,\left\|\overrightarrow{AB}\right\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$$.

5.Coordonnées du milieu d’un segment

Propriété :

Le point I est le milieu du segment [AB] a pour coordonnées :

$$\,I\binom{\frac{x_A+x_B}{2}}{\frac{y_A+y_B}{2}}$$

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