Vecteurs et repères : exercices de maths en seconde (2de)

Des exercices de maths sur les vecteurs et les repères en seconde (2de).

Exercices :

I) Soit ABCD un trapèze convexe tel que : (AB)//(DC), AB = 5 et DC = 7.

1) a) A partir de ces hypothèses, montrer que $\overrightarrow{DC}=\frac{7}{5}\overrightarrow{AB}$

b) Exprimer $\overrightarrow{AC}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ .

2) On considère le point E tel que 5 $\overrightarrow{EC}$ = 2 $\overrightarrow{DE}$

a) Déterminer $\overrightarrow{DE}$ en fonction de $\overrightarrow{DC}$ , puis placer E.

b) Montrer que les segments [AE] et [BD] ont même milieu.

3) A chaque réel x, on fait correspondre le point M tel que $\overrightarrow{AM}$ = x $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ .

a) Pour quelle valeur de x le point M est-il le symétrique de C par rapport à D ?

b) Exprimer $\overrightarrow{DM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$ . Sur quelle ligne se déplace le point M lorsque x varie ?

II) Soit ABC un triangle et x un réel.

A chaque valeur de x on associe les points E et F tels que : $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\,+x\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}\,+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

1) Construire E et F pour $x=-\frac{1}{2}$ .

2) Montrer que, pour tout x de $\mathbb{R}$ , $\overrightarrow{EF}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$ .

3) Pour quelles valeurs de x a-t-on :

a) E = F ?

b) BCFE est un parallélogramme ?

III) Soit ABCD un quadrilatère, on défini les points M et N par : $\overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{DN}=a\overrightarrow{DC}$ (a étant un réel)

1) Montrer que pour tout réel a, on a : $\overrightarrow{MN}=a\overrightarrow{BC}\,+(1-a)\overrightarrow{AD}$

2) Que dire de MBCN si ABCD est un parallélogramme ?

IV) Soit un réel a et un triangle RST. Soit aussi les points M, N et U définis par
$\overrightarrow{RM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{RS}\,+(a+\frac{5}{2})\overrightarrow{RT}$ ; $\overrightarrow{RN}=(a+2)\overrightarrow{RS}\,+\frac{3}{4}\overrightarrow{RT}$ ; $\overrightarrow{RU}=\,\frac{3}{4}\overrightarrow{RS}\,-(a+\,\frac{3}{2})\overrightarrow{RT}$

1) Placer les points M, N et U lorsque a = 0.

2) Démontrer que pour tout réel a, les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{ST}$ sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?

3) Démontrer que pour tout réel a, SMTU est un parallélogramme

V) Soit ABC un triangle.

1) On donne G tel que $\overrightarrow{GA}\,+2\overrightarrow{GB}\,+3\overrightarrow{GC}\,=\overrightarrow{0}$ .
Déterminer $\overrightarrow{CG}$ en fonction de $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ puis construire G.

2) Soit H tel que $\overrightarrow{AH}\,=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ , montrer que G est le milieu de [HC]

3) Montrer que pour tout point M, $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\,+3\overrightarrow{MC}\,=6\overrightarrow{MG}$ .

4) Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

a) $\left\,\|\,\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\,+3\overrightarrow{MC}\,\right\,\|=6AB$ .

b) $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\,+3\overrightarrow{MC}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$ .

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