Exercices maths 2de

Vecteurs et repères : exercices de maths en seconde (2de)

Mise à jour le 13 mai 2017 | Exercices maths seconde  |  Signalez une ERREUR

Des exercices de maths sur les vecteurs et les repères en seconde (2de).

Exercices :

I) Soit ABCD un trapèze convexe tel que :   (AB)//(DC),   AB = 5  et  DC = 7.

1)  a) A partir de ces hypothèses, montrer que   \overrightarrow{DC}=\frac{7}{5}\overrightarrow{AB}

b) Exprimer \overrightarrow{AC} en fonction de \overrightarrow{AB} et \overrightarrow{AD}.

2)  On considère le point E tel que 5\overrightarrow{EC} = 2\overrightarrow{DE}

a) Déterminer \overrightarrow{DE} en fonction de \overrightarrow{DC} , puis placer E.

b) Montrer que les segments [AE] et [BD] ont même milieu.

3)  A chaque réel x, on fait correspondre le point M tel que \overrightarrow{AM} =  x\overrightarrow{AB} +\overrightarrow{AD}.

a) Pour quelle valeur de x le point M est-il le symétrique de C par rapport à D ?

b) Exprimer \overrightarrow{DM}  en fonction de \overrightarrow{AB}. Sur quelle ligne se déplace le point M lorsque x varie ?

II) Soit ABC un triangle et x un réel.

A chaque valeur de x on associe les points E et F tels que : \overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\,+x\overrightarrow{AC}    et   \overrightarrow{AF}=x\overrightarrow{AB}\,+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}

1) Construire E et F pour x=-\frac{1}{2}.

2) Montrer que, pour tout x de \mathbb{R}, \overrightarrow{EF} est colinéaire à \overrightarrow{BC} .

3) Pour quelles valeurs de x a-t-on :

a) E = F ?

b) BCFE est un parallélogramme ?

III) Soit ABCD un quadrilatère, on défini les points M et N par : \overrightarrow{AM}=a\overrightarrow{AB}   et  \overrightarrow{DN}=a\overrightarrow{DC}   (a étant un réel)

1) Montrer que pour tout réel a, on a : \overrightarrow{MN}=a\overrightarrow{BC}\,+(1-a)\overrightarrow{AD}

2) Que dire de MBCN si ABCD est un parallélogramme ?

IV) Soit un réel a et un triangle RST. Soit aussi les points M, N et U définis par
\overrightarrow{RM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{RS}\,+(a+\frac{5}{2})\overrightarrow{RT}    ;   \overrightarrow{RN}=(a+2)\overrightarrow{RS}\,+\frac{3}{4}\overrightarrow{RT}      ;      \overrightarrow{RU}=\,\frac{3}{4}\overrightarrow{RS}\,-(a+\,\frac{3}{2})\overrightarrow{RT}

1) Placer les points M, N et U lorsque   a = 0.

2) Démontrer que pour tout réel a, les vecteurs \overrightarrow{MN} et  \overrightarrow{ST} sont colinéaires. Que peut-on en déduire ?

3) Démontrer que pour tout réel a, SMTU est un parallélogramme

V) Soit ABC un triangle.

1) On donne G tel que \overrightarrow{GA}\,+2\overrightarrow{GB}\,+3\overrightarrow{GC}\,=\overrightarrow{0} .
Déterminer \overrightarrow{CG} en fonction de  \overrightarrow{CA} et  \overrightarrow{CB} puis construire G.

2) Soit H tel que \overrightarrow{AH}\,=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB} , montrer que G est le milieu de [HC]

3) Montrer que pour tout point M,   \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\,+3\overrightarrow{MC}\,=6\overrightarrow{MG}.

4) Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :

a) \left\,\|\,\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\,+3\overrightarrow{MC}\,\right\,\|=6AB.

b)  \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\,+3\overrightarrow{MC} est colinéaire à \overrightarrow{BC}.

Vecteurs et repères : exercices de maths en seconde (2de)
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